Chuyên đề I: Ứng Dụng Đạo Hàm Trong Các Bài Toán Đại Số
I.Các vài toán liên quan đến nghiệm của pt-bpt:

Định lí 1: Số nghiệm của pt f(x)=g(x) chính là số giao điểm của hai đồ thị y=f(x) và y=g(x)
Định lí 2: Nếu hàm số y=f(x) lt trên D và
,
thì pt: f(x)=k có nghiệm khi và chỉ khi

Định lí 3: Bất phương trình
nghiệm đúng mọi x thuộc D khi và chỉ khi


Các ví dụ:
Bài 1:Tìm m để pt sau có nghiệm:
(HSG Nghệ an 2005)
Lời giải: Xét hàm số
có tập xác định là D=R


Bài 2:Tìm tất cả các giá trị của a để pt:
có đúng một nghiệm

(Đề thi HSG tỉnh Hải Dương Lớp 12 năm 2005)
Giải: Ta thấy để pt có nghiệm thì








Bài 3: Cho phương trình
. Tìm tất cả các giá trị của tham số a, để phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt. (HSG Nam Định 2004)
Giải: Vì
không phải là nghiệm pt. Chia hai vế pt cho x3 ta được


Ta có bảng biến thiên:
Dựa vào bảng bt ta thấy pt(1’) có đúng một nghiệm
khi và chỉ khi







Bài 4:Cho hàm số
với a,b là hai số thực dương khác nhau cho trước.Cmr với mỗi số thực
đếu tồn tại duy nhất số thực
( HSG QG bảng A năm 2006)
Giải: Trước hết ta cos BĐT :
(1) ta có thể cm (1) bằng hàm số hoặc bằng BĐT Bécnuli
Áp dụng BĐT Côsi và (1) ta có :
(*) (do
)
Mặt khác ta có:
ta dễ dàng cm được f’(x) >0 mọi x>0 suy ra f(x) đồng biến với x>0 nên
(**)
Vì f(x) liên tục khi x>0 nên từ (*) và (**) ta có điều phải cm
Bài tập:
1. Tìm m để pt sau có nghiệm duy nhất thuộc



2.Tìm m để số nghiệm của pt:
không nhiều hơn số nghiệm của pt:
(HSG Nghệ an 1998)
3. Tìm tất cả các giá trị a để bpt:
nghiệm đúng

4. a)Cmr nếu a >0 là số sao cho bpt:
đúng với mọi
thì

b) Tìm tất cả các giá trị của a để :
(HSG 12 Nam Định 2006)














II.Giải pt bằng phương pháp hàm số:

Định lí 1:Nếu hàm số y=f(x) luôn đb (hoặc luôn ngb) thì số nghiệm của pt : f(x)=k
Không nhiều hơn một và f(x)=f(y) khi và chỉ khi x=y
Định lí 2: Nếu hàm số y=f(x) luôn đb (hoặc luôn ngb) và hàm số y=g(x) luôn ngb (hoặc luôn đb) trên D thì số nghiệm trên D của pt: f(x)=g(x) không nhiều hơn một
Định lí 3:Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm đến cấp n và pt
có m nghiệm, khi đó pt
có nhiều nhất là m+1 nghiệm
Các ví dụ:
Bài 1:Giải pt:

(Olympic 30-4 ĐBSCL 2000)
Giải: Ta thấy pt chỉ có nghiệm trong



Với u=-3x, v=2x+1; u,v>0. Xét hàm số
với t>0
Ta có

(1)
u=v
-3x=2x+1
là nghiệm duy nhất của pt
Bài 2: Giải pt:
(HSG Lớp 12 Nam Định 2006)
Giải: Xét hàm số :
, ta có

Vì

Nên dấu của f’(x) chính là dấu của sinx. Từ đây ta có

Vậy pt đã cho có nghiệm duy nhất x=0
Bài 3: Giải pt:
(HSG Nghệ an 2005)
Giải: Xét hàm số :

Ta có:



Mà ta thấy f(1)=f(0)=0 nên pt đã cho có hai nghiệm x=0 và x=1
Bài 4: Giải pt:
(TH&TT)
Giải: Đk: x>-1/2

(1)
Xét hàm số:
ta có f(t) là hàm đồng biến nên


Xét hàm